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公司不能申请。你邻居下落不明已经满4年，公司作为与你邻居具有劳动关系的企业属于利害关系人，在没有在先顺序申请人的情况下，可以自己申请，因为申请宣告死亡受严格顺序限制，而顺序在先的申请人不申请的，顺序在后的申请人就不能申请，所以你邻居的家属不申请的，用人单位就不能申请。公司可以和这个邻居的家人协商，让他们申请。宣告死亡是人民法院依照法律规定的条件和程序，宣告下落不明满一定期限的公民死亡的一种法律制度，是人民法院对失踪人依法作出的死亡推定。其目的在于结束因公民下落不明而产生的民事权利义务关系的不稳定状态，保护该公民的近亲属等利害关系人的合法权益。《民法通则》规定，公民有下列情形之一的，利害关系人可以向人民法院申请宣告死亡：（1）下落不明满4年的；（2）因意外事故下落不明，从事故发生之日起满2年的。战争期间下落不明的，下落不明的时间从战争结束之日起计算。宣告公民死亡必须由利害关系人向人民法院提出申请。所谓利害关系人是指在法律上与失踪人存在一定的人身关系或者民事权利义务关系的人，包括失踪人的配偶、父母、子女、祖父母、外祖父母、孙子女、外孙子女、兄弟姐妹以及其他有民事权利义务关系的人。申请人包括：（一）配偶；（二）父母、子女；（三）兄弟姐妹、祖父母、外祖父母、孙子女、外孙子女；（四）其他有民事权利义务关系的人。必须按此顺序申请，顺序在先的申请人有排他效力，有在先顺序的排除在后顺序，同顺序的权力平等。
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